Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd

Există patru numere care să îndeplinească simultan condițiile a

Rezolvare:

Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată. Din a

Cele două relații obținute mai sus nu pot avea loc simultan. Așadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiții.

Arătați că nu există nici un număr natural care împărțit la 8 dă restul 6 și împărțit la 4 dă restul 3.

Rezolvare

Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât n = 8q + 6 și n = 4q + 3, cu p și q numere naturale.

Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relație care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd.

Deci nu există nici un număr natural care împărțit la 8 dă restul 6 și împărțit la 4 dă restul 3.

Fie numerele naturale a și b astfel încât 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b nu se divid prin 3.

Arătați că b este divizibil cu 3 și că a nu este divizibil cu 3.

Rezolvare

Prin metoda reducerii la absurd presupunem că a se divide prin 3. Rezultă că 3 | (2a + 3b) – contradicție cu ipoteza problemei. Deci a nu se divide prin 3. înseamnă că a este de forma: a = 3k + 1 sau a = 3k + 2, unde k este număr natural.

Prin reducere la absurd, presupunem că b nu se divide cu 3. Urmează că b = 3p + 1 sau b = 3p + 2, unde p este număr natural.

Pentru orice forma ale lui a și b, cel puțin unul dintre numerele 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b se divide cu 3, ceea ce este fals. Așadar, b este divizibil cu 3.

Tema pentru acasă (seminarul din săptămâna următoare)

Câtul și restul împărțirii numerelor naturale a și b sunt 19, respectiv 99. Dacă a-b

Aflați suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 și 2000 care împărțite la 49 dau câtul și restul numere egale.

Determinați cel mai mare număr natural a care, împărțit la 1985 dă câtul mai mic decât restul.

Determinați toate numerele naturale care împărțite la 36 dau ca rest pătratul câtului.

Arătați că nu există nici un număr natural a care împărțit la 15 dă restul 7 și împărțit la 12 dă restul 3.

Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103.

Demonstrați că printre ele există cel puțin două numere impare.

Cercetați dacă există numere naturale m și n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.

Rezolvări

1. Fie a și b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99

Dar a-b

Urmează că b = 100.

2. Fie x astfel de numere naturale. x = 49c + c, 0 ≤ c

În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este: S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.

3. a = 1985∙c + r, c

Dar a este maxim.

Rezultă că c și r sunt maxime, adică c = 1984 și r = 1983.

Deci a = 1985∙1983 + 1984.

4. Fie n numerele naturale cerute în enunț.

Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2

De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.

5. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7

Din cea de-a doua relație avem că a este multiplu de 3.

Folosind acest lucru în prima relație, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd.

Deci, concluzia problemei este adevărată.

6. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare.

Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103).

Deci, cel puțin unul este impar.

Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară.

Dar suma este pară.

Rezultă că cel puțin doi termeni sunt impari.

7. Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m și n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.

I. Dacă m și n-au aceeași paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – n)(m + n + 1) este par.

II. Dacă m și n au parități diferite, m + n + 1 este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par.

Contradicție cu (m – n)(m + n + 1) = 1999. Deci nu există astfel de numere.