§1. Conţinutul fizic al propoziţiilor geometrice

Nu încape nicio îndoială, iubite cititor, că, în tinereţe, ai cunoscut falnicul edificiu al geometriei euclidiene, iar amintirea acestei măreţe construcţii, pe ale cărei trepte înalte ai fost purtat în nenumărate ore de studiu de profesori conştiincioşi, îţi inspică mai mult respect decât plăcere; cu siguranţă că această experienţă din trecut te face să priveşti cu dispreţ pe oricine ar îndrăzni să declare ca neadevărată chiar şi cea mai neînsemnată propoziţie a acestei ştiinţe. Dar acest sentiment de mândră certitudine te va părăsi de îndată ce vei fi întrebat: „Ce înţelegi prin afirmaţia că aceste propoziţii sunt adevărate?” Iată o întrebare la care vrem să ne oprim puţin.

Geometria porneşte de la anumite noţiuni fundamentale, cum sunt punctul, dreapta, planul, pe care suntem capabili să le corelăm cu reprezentări clare, şi de la anumite propoziţii simple (axiome), pe care suntem înclinaţi să le acceptăm ca „adevărate” pe baza acestor reprezentări. Toate celelalte propoziţii vor fi întemeiate, adică demonstrate pe baza unei metode logice, a cărei justificare suntem determinaţi s-o recunoaştem, pornind de la aceste axiome. O propoziţie este corectă, respectiv „adevărată”, dacă poate fi dedusă din axiome în maniera recunoscută. Problema „adevărului” unor propoziţii geometrice individuale conduce astfel înapoi la problema „adevărului” axiomelor. Se ştie însă de multă vreme că această ultimă problemă nu este doar nerezolvabilă prin metodele geometriei; ea este, în general, fără sens. Nu ne putem întreba dacă este adevărat că prin două puncte poate trece numai o singură dreaptă. Putem doar spune că geometria euclidiană se ocupă cu figuri pe care ea le numeşte „drepte” şi cărora le atribuie proprietatea de a fi determinate în întregime prin două puncte ce le aparţin. Conceptul de „adevăr” nu se potriveşte enunţurilor geometriei pure, deoarece prin cuvântul „adevărat” desemnăm în ultimă instanţă corespondenţa cu obiectele reale. Geometria însă nu se ocupă cu relaţia dintre conceptele ei şi obiectele experienţei, ci doar cu corelaţiile logice reciproce ale acestor concepte.

Este uşor însă de explicat de ce ne simţim totuşi obligaţi să spunem că propoziţiile geometriei sunt „adevărate”. Conceptelor geometrice le corespund mai mult sau mai puţin exact obiecte din natură, aceasta din urmă reprezentând singura cauză a generării lor. În încercarea de a conferi edificiului ei o cât mai mare coeziune logică, geometria se îndepărtează de această origine. Obişnuinţa, de exemplu, de a defini o dreaptă prin două puncte marcate pe un singur corp practic rigid este profund înrădăcinată în felul nostru de a gândi. La fel, suntem obişnuiţi să considerăm că trei puncte se află pe o linie dreaptă dacă putem face să treacă o rază vizuală prin aceste trei puncte alegând în mod convenabil punctul de vizare.

Dacă, urmând modul nostru obişnuit de a gândi, adăugăm propoziţiilor geometriei euclidiene o singură propoziţie care afirmă că la două puncte ale unui corp practic rigid corespunde întotdeauna aceeaşi distanţă (măsurată în linie dreaptă), indiferent de modificările aduse poziţiei corpului, atunci propoziţiile geometriei euclidiene devin propoziţii ce se raportează la diverse poziţii relative pe care le pot ocupa corpurile practic rigide.[1] Geometria astfel completată poate fi considerată o ramură a fizicii. Acum avem îndreptăţirea să ne întrebăm asupra „adevărului” propoziţiilor geometrice astfel interpretabile, deoarece ne putem întreba dacă ele corespund acelor lucruri reale pe care le-am pus în corespondenţă cu conceptele geometrice. Ceva mai puţin precis am putea spune că prin „adevărul” unei propoziţii geometrice înţelegem faptul că ea conduce la o construcţie posibilă cu rigla şi compasul.

Convingerea asupra „adevărului” propoziţiilor geometrice în acest sens se întemeiază în mod natural exclusiv pe o experienţă relativ imperfectă.
Vom presupune pentru început adevărul propoziţiilor geometriei pentru ca apoi, în ultima pafte a consideraţiilor noastre (privind teoria generală a relativităţii), să vedem că aceste adevăruri nu sunt absolute şi să le precizăm limitele.

§2. Sistemul de coordonate

Pe baza interpretării fizice a distantei pe care am indicat-o, suntem în măsură să stabilim prin măsurători distanţa dintre două puncte ale unui corp rigid. Pentru aceasta avem nevoie de o linie (un etalon de măsură S) determinată o dată pentru totdeauna, care va fi folosită ca unitate de măsură. Dacă se dau două puncte A şi B ale unui corp rigid, atunci linia dreaptă care le uneşte se poate construi după legile geometriei; apoi, pe această linie de legătură putem suprapune linia S pornind din A de atâtea ori până când se ajunge în B. Numărul repetărilor acestei suprapuneri va reprezenta măsura dreptei AB. Pe acest principiu se bazează orice măsurare a lungimii.[2]

Orice descriere spaţială a poziţiei unui fenomen sau obiect se bazează pe faptul că se indică un punct al unui corp rigid (sistem de referinţă) cu care acel fenomen coincide. Acest lucru este valabil nu doar pentru descrierea ştiinţifică, ci şi pentru viaţa cotidiană. Astfel, dacă vom analiza următoarea indicaţie privind locul „la Berlin, în piaţa Potsdam”, vom obţine următoarea semnificaţie: corpul rigid este solul la care se referă indicaţia privind locul; pe el e marcat un punct purtând un nume, „Piaţa Potsdam din Berlin”, cu care coincide spaţial fenomenul.[3]

Acest mod elementar de a indica un loc nu poate servi decât pentru punctele de pe suprafaţa corpurilor rigide, fiind legat de existenţa unor puncte ale acestei suprafeţe ce pot fi distinse reciproc. Să vedem cum se eliberează spiritul uman de aceste două limitări, fără ca esenţa indicării locului să se modifice. De exemplu, să presupunem că deasupra Pieţei Potsdam pluteşte un nor; locul acestuia poate fi stabilit, în raport cu suprafaţa Pământului, ridicând în piaţă o prăjină care să ajungă până la nor. Lungimea prăjinii, măsurată cu etalonul, împreună cu indicarea locului piciorului acestei prăjini va reprezenta o indicaţie completă a poziţiei.
Vedem din acest exemplu cum a fost perfecţionată noţiunea de poziţie:

a) se prelungeşte corpul rigid, la care se raportează indicaţia de poziţie a obiectului, în aşa fel încât obiectul ce urmează a fi localizat îl întâlneşte într-un punct determinat;

b) se foloseşte, pentru stabilirea locului, numărul în locul numelor punctelor de reper (aici, lungimea prăjinii măsurate cu etalonul);

c) se vorbeşte de înălţimea norului chiar şi atunci când nu există o prăjină care să-l poată atinge. În cazul nostru, se va evalua lungimea acestei prăjini care ar trebui confecţionată pentru a atinge norul, prin observaţii optice asupra norului din diferite poziţii de pe sol, ţinând seama de proprietăţile propagării luminii.

Din această examinare rezultă că, în descrierea poziţiei locului, ar fi avantajos dacă am reuşi ca, prin folosirea numerelor indici, să devenim independenţi de existenţa punctelor de reper dotate cu nume pe un corp rigid, ce serveşte ca sistem de referinţă. Acest obiectiv îl realizează fizica în măsurarea prin folosirea sistemului de coordonate cartezian.

Acesta constă din trei planuri rigide perpendiculare două câte două şi legate de un corp rigid.
Locul unui eveniment oarecare în raport cu sistemul de coordonate va fi (în mod esenţial) descris prin indicarea lungimii a trei perpendiculare sau coordonate (x, y, z) (vezi fig. 2, p. 36) care pot fi duse în acest punct pe cele trei planuri considerate. Lungimile acestor trei perpendiculare pot fi determinate prin manevrarea liniei etalon rigide conform legilor şi metodelor geometriei euclidiene.

În aplicaţii, nu se realizează în general cele trei planuri rigide ce constituie sistemul de coordonate; coordonatele nu se măsoară nici ele cu ajutorul etalonului rigid, ci se determină indirect. Sensul fizic al indicaţiei de poziţie nu va trebui întotdeauna căutat în direcţia explicaţiilor de mai sus, dacă vrem ca rezultatele fizicii şi astronomiei să nu devină obscure.[4]

Din cele de mai sus rezultă deci următoarele:
orice descriere spaţială a fenomenelor se foloseşte de un corp rigid la care se vor raporta spaţial fenomenele; această raportare presupune valabilitatea legilor geometriei euclidiene pentru „liniile drepte”, „linia dreaptă” fiind reprezentată fizic prin două puncte marcate pe un corp rigid.

§3. Spaţiul şi timpul în mecanica clasică

Dacă formulăm obiectivul mecanicii – fără explicaţii preliminare şi consideraţii complicate – astfel: „mecanica trebuie să descrie schimbările de poziţie ale corpurilor în spaţiu în funcţie de timp”, atunci vom comite o serie de păcate de moarte împotriva spiritului sfânt al clarităţii; aceste păcate vor fi imediat scoase la iveală.

Este neclar ce trebuie să se înţeleagă aici prin „loc” şi „spaţiu”. Să luăm un exemplu. De la fereastra unui vagon de tren în mişcare uniformă las să cadă o piatră pe terasament fără a-i da un impuls. Făcând abstracţie de rezistenta aerului, voi vedea piatra căzând în linie dreaptă. Un pieton care, de pe o potecă laterală, vede fapta mea urâtă, observă că piatra cade pe pământ descriind o parabolă. Ne întrebăm: „locurile” pe care piatra le străbate se află „în realitate” pe o dreaptă sau pe o parabolă? Ce înseamnă aici mişcarea „în spaţiu”? După remarcile din §2, răspunsul va fi de la sine înţeles. Mai întâi să lăsăm cu totul la o parte expresia vagă „spaţiu”, prin care, să recunoaştem sincer, nu putem să gândim nimic precis; o vom înlocui prin „mişcare în raport cu un corp de referinţă practic rigid”. Locurile în raport cu un corp de referinţă (vagonul sau solul) au fost deja definite amănunţit în paragrafele anterioare. Dacă pentru „corp de referinţă” vom introduce conceptul util pentru descrierea matematică „sistem de coordonate”, vom putea spune: piatra descrie în raport cu sistemul de referinţă legat de vagon o dreaptă, iar în raport cu cel legat de sol o parabolă. Din acest exemplu se vede clar că nu putem vorbi de traiectorie[5] în sine, ci numai de traiectoria relativă la un sistem de referinţă.

O descriere completă a mişcării nu este dată până nu se indică modul în care corpul îşi modifică locul în funcţie de timp. Cu alte cuvinte, pentru fiecare punct al traiectoriei trebuie să se indice momentul temporal în care corpul se află acolo.

Aceste indicaţii trebuie completate cu o asemenea definiţie a timpului, încât aceste valori de timp să poată fi considerate, datorită acestei definiţii, ca mărimi principial observabile (rezultate ale măsurătorilor). Ne putem conforma acestei-exigenţe pentru exemplul nostru, în cadrul mecanicii clasice, în felul următor. Ne imaginăm două ceasornice absolut identice; pe unul dintre ele îl va observa omul de la fereastra trenului, iar pe altul omul de pe drumul lateral. Fiecare dintre cei doi, atunci când ceasornicul său indică o anumită oră, va determina poziţia pietrei în raport cu sistemul său de referinţă. Vom renunţa aici la luarea în considerare a inexactităţii care apare datorită caracterului finit al vitezei de propagare a luminii. Despre aceasta şi despre a doua dificultate – care va trebui biruită aici – vom vorbi mai detaliat mai târziu.

§4. Sistemul de coordonate galilean

Principiul mecanicii galileo-newtoniene, cunoscut sub denumirea de legea inerţiei, spune: un corp suficient de îndepărtat de alte corpuri îşi menţine starea de repaus sau de mişcare uniform-rectilinie. Această propoziţie nu spune ceva doar despre mişcarea corpurilor, ci şi despre sistemele de coordonate a căror utilizare este admisă în descrierea mecanică. Corpurile care se supun, desigur, cu un grad înalt de aproximare, legii inerţiei sunt stelele fixe observabile. Dar, în raport cu un sistem de coordonate legat rigid de Pământ, o stea fixă descrie în cursul unei zile (astronomice) un cerc de rază extrem de mare, în contradicţie cu principiul inerţiei. Pentru a putea menţine acest principiu va trebui să raportăm mişcarea numai la sisteme de coordonate faţă de care stelele fixe nu se mişcă în cerc. Sistemul de coordonate, a cărui stare de mişcare este de aşa natură încât în raport cu el este valabilă legea inerţiei, îl vom numi „sistem de coordonate galilean”. Numai pentru un sistem de coordonate galilean sunt valabile legile mecanicii galileo-newtoniene.

§5. Principiul relativităţii (în sens restrâns)

Revenim, pentru o intuire mai bună a lucrurilor, la exemplul cu vagonul de tren care se mişcă cu o viteză uniformă. Mişcarea sa o vom numi translaţie uniformă („uniformă” deoarece viteza şi direcţia sa sunt constante; „translaţie” deoarece vagonul îşi modifică locul în raport cu terasamentul căii ferate, fără a face vreo mişcare de rotaţie). Să presupunem că un corb zboară în linie dreaptă şi în mod uniform în raport cu un observator situat pe sol. Din punctul de vedere al unui observator din trenul aflat în mişcare, zborul lui va reprezenta o mişcare cu o altă viteză şi altă direcţie: dar este tot o mişcare rectilinie şi uniformă. Exprimat în mod abstract: dacă o masă m se mişcă uniform şi rectiliniu în raport cu un sistem de coordonate K, atunci ea se va mişca rectiliniu şi uniform şi în raport cu al doilea sistem de coordonate K’, atunci când acesta din urmă are o mişcare de translaţie uniformă faţă de K. De aici decurge, având în vedere cele spuse şi în paragrafele anterioare, că:

Dacă K este un sistem de coordonate galilean, atunci oricare alt sistem de coordonate K’ va fi unul galilean dacă el se află fată de K într-o stare de mişcare de translaţie uniformă, în raport cu K’ legile mecanicii galileo-newtoniene sunt la fel de valabile ca şi în raport cu K.

Vom face un pas mai departe în generalizare:dacă K’ reprezintă un sistem de coordonate în mişcare uniformă şi fără rotaţii în raport cu K, atunci fenomenele naturale se vor petrece în raport cu K’ după aceleaşi legi generale ca şi în raport cu K. Acest enunţ îl vom numi „Principiul relativităţii”
(în sens restrâns).

Atâta vreme cât domina convingerea că orice fenomen al naturii poate fi reprezentat cu ajutorul mecanicii clasice, nu se putea pune la îndoială validitatea acestui principiu al relativităţii. Cu noile dezvoltări ale electrodinamicii şi opticii a devenit din ce în ce mai evident că mecanica clasică nu este suficientă ca bază a tuturor descrierilor fizice ale fenomenelor naturale. Atunci s-a pus sub semnul întrebării validitatea principiului relativităţii, nefiind exclusă posibilitatea ca răspunsul să fie unul negativ.

Oricum, există două fapte generale care pledează din capul locului în favoarea validităţii principiului relativităţii. Dacă mecanica clasică nu oferă o bază suficientă pentru explicarea teoretică a tuturor fenomenelor fizice, trebuie totuşi să-i recunoaştem un conţinut de adevăr foarte important, deoarece ea descrie cu o precizie uimitoare mişcările reale ale corpurilor cereşti. De aceea, şi în domeniul mecanicii principiul relativităţii trebuie să fie valabil cu o mare exactitate. Faptul ca un principiu cu un grad atât de înalt de generalitate, care este valid cu o asemenea exactitate într-un domeniu de fenomene, să fi eşuat în alt domeniu de fenomene este a priori puţin probabil.

Al doilea argument, asupra căruia vom reveni mai târziu, este următorul. Dacă principiul relativităţii (în sens restrâns) n-ar fi valid, atunci sistemele de coordonate galileene K, K’, K" etc., care se mişcă unul faţă de altul uniform, n-ar mai fi echivalente pentru descrierea fenomenelor naturale. Ar trebui atunci să admitem că legile naturii se prezintă sub o formă deosebit de simplă şi naturală dacă vom alege ca sistem de referinţă unul dintre toate acestea (K0) aflat într-o stare determinată de mişcare. Pe acesta îl vom considera, pe bună dreptate (din cauza avantajelor sale pentru descrierea fenomenelor naturale) ca „absolut imobil”, celelalte sisteme galileene K fiind însă „în mişcare”. Dacă, de exemplu, terasamentul căii ferate ar reprezenta sistemul K0, atunci vagonul nostru de tren ar fi un sistem K în raport cu care ar trebui să fie valabile legi mai puţin simple decât cele definite în raport cu K0. Această simplitate redusă ar trebui pusă pe seama faptului că vagonul K se află în mişcare în raport cu K0 (în mod „real”), în aceste legi generale ale naturii formulate în raport cu K, mărimea şi direcţia vitezei de mişcare a vagonului trebuie să joace un rol. Ne vom aştepta, de exemplu, ca înălţimea tonului unui tub de orgă să fie diferită după cum axa acestui tub va fi paralelă sau perpendiculară pe direcţia de mişcare a trenului. Dar Pământul, aflat în mişcare în raport cu Soarele, este comparabil cu un vagon care se deplasează cu o viteză de 30 km/s. Ar trebui deci să ne aşteptăm, dacă admitem nevaliditatea principiului relativităţii, ca direcţia din fiecare moment a mişcării Pământului să intervină în legile naturii, cu alte cuvinte ca sistemele fizice să depindă în comportamentul lor de orientarea spaţială în raport cu Pământul. Dar, dat fiind că direcţia vitezei mişcării de rotaţie a Pământului se schimbă constant în cursul anului, acesta nu poate fi considerat imobil în raport cu sistemul ipotetic K0 niciun moment pe parcursul unui an întreg. Dar, cu toate strădaniile, nu s-a putut observa niciodată o asemenea anizotropie fizică a spaţiului, adică o neechivalenţă fizică a diferitelor direcţii. Acesta este un argument foarte puternic în favoarea principiului relativităţii.

§6. Teorema compunerii vitezelor în mecanica clasică

Să presupunem iarăşi că acelaşi tren se deplasează cu viteza constantă v. Într-un vagon, un om se deplasează în sensul lungimii vagonului şi anume în aceeaşi direcţie a mişcării trenului, cu viteza w. Cât de repede, adică cu ce viteză W înaintează omul în raport cu terasamentul? Singurul răspuns posibil pare a decurge din observaţia următoare:

Dacă omul ar rămâne imobil timp de o secundă, în acest timp el s-ar deplasa în raport cu terasamentul cu o lungime v egală cu viteza trenului. Dar, în realitate, din cauza mişcării lui proprii, el parcurge în plus în această secundă în raport cu vagonul şi, ca urmare, şi în raport cu terasamentul, o lungime w egală cu viteza deplasării sale. În total, el parcurge deci în această secundă, în raport cu terasamentul, o lungime W = v + w.

Vom vedea mai târziu că acest raţionament, care în mecanica clasică se numeşte „teorema de compunere a vitezelor”, nu este riguros şi, ca urmare, această lege nu este verificată în realitate. Pentru moment vom accepta însă corectitudinea ei.