Teoria relativitatii pe intelesul tuturor

Partea întâi
DESPRE TEORIA SPECIALĂ A RELATIVITĂȚII

§1. Conținutul fizic al propozițiilor geometrice

Nu încape nicio îndoială, iubite cititor, că, în tinerețe, ai cunoscut falnicul edificiu al geometriei euclidiene, iar amintirea acestei mărețe construcții, pe ale cărei trepte înalte ai fost purtat în nenumărate ore de studiu de profesori conștiincioși, îți inspică mai mult respect decât plăcere; cu siguranță că această experiență din trecut te face să privești cu dispreț pe oricine ar îndrăzni să declare ca neadevărată chiar și cea mai neînsemnată propoziție a acestei științe. Dar acest sentiment de mândră certitudine te va părăsi de îndată ce vei fi întrebat: „Ce înțelegi prin afirmația că aceste propoziții sunt adevărate?” Iată o întrebare la care vrem să ne oprim puțin.

Geometria pornește de la anumite noțiuni fundamentale, cum sunt punctul, dreapta, planul, pe care suntem capabili să le corelăm cu reprezentări clare, și de la anumite propoziții simple (axiome), pe care suntem înclinați să le acceptăm ca „adevărate” pe baza acestor reprezentări. Toate celelalte propoziții vor fi întemeiate, adică demonstrate pe baza unei metode logice, a cărei justificare suntem determinați s-o recunoaștem, pornind de la aceste axiome. O propoziție este corectă, respectiv „adevărată”, dacă poate fi dedusă din axiome în maniera recunoscută. Problema „adevărului” unor propoziții geometrice individuale conduce astfel înapoi la problema „adevărului” axiomelor. Se știe însă de multă vreme că această ultimă problemă nu este doar nerezolvabilă prin metodele geometriei; ea este, în general, fără sens. Nu ne putem întreba dacă este adevărat că prin două puncte poate trece numai o singură dreaptă. Putem doar spune că geometria euclidiană se ocupă cu figuri pe care ea le numește „drepte” și cărora le atribuie proprietatea de a fi determinate în întregime prin două puncte ce le aparțin. Conceptul de „adevăr” nu se potrivește enunțurilor geometriei pure, deoarece prin cuvântul „adevărat” desemnăm în ultimă instanță corespondența cu obiectele reale. Geometria însă nu se ocupă cu relația dintre conceptele ei și obiectele experienței, ci doar cu corelațiile logice reciproce ale acestor concepte.

Este ușor însă de explicat de ce ne simțim totuși obligați să spunem că propozițiile geometriei sunt „adevărate”. Conceptelor geometrice le corespund mai mult sau mai puțin exact obiecte din natură, aceasta din urmă reprezentând singura cauză a generării lor. În încercarea de a conferi edificiului ei o cât mai mare coeziune logică, geometria se îndepărtează de această origine. Obișnuința, de exemplu, de a defini o dreaptă prin două puncte marcate pe un singur corp practic rigid este profund înrădăcinată în felul nostru de a gândi. La fel, suntem obișnuiți să considerăm că trei puncte se află pe o linie dreaptă dacă putem face să treacă o rază vizuală prin aceste trei puncte alegând în mod convenabil punctul de vizare.

Dacă, urmând modul nostru obișnuit de a gândi, adăugăm propozițiilor geometriei euclidiene o singură propoziție care afirmă că la două puncte ale unui corp practic rigid corespunde întotdeauna aceeași distanță (măsurată în linie dreaptă), indiferent de modificările aduse poziției corpului, atunci propozițiile geometriei euclidiene devin propoziții ce se raportează la diverse poziții relative pe care le pot ocupa corpurile practic rigide.[1] Geometria astfel completată poate fi considerată o ramură a fizicii. Acum avem îndreptățirea să ne întrebăm asupra „adevărului” propozițiilor geometrice astfel interpretabile, deoarece ne putem întreba dacă ele corespund acelor lucruri reale pe care le-am pus în corespondență cu conceptele geometrice. Ceva mai puțin precis am putea spune că prin „adevărul” unei propoziții geometrice înțelegem faptul că ea conduce la o construcție posibilă cu rigla și compasul.

Convingerea asupra „adevărului” propozițiilor geometrice în acest sens se întemeiază în mod natural exclusiv pe o experiență relativ imperfectă.
Vom presupune pentru început adevărul propozițiilor geometriei pentru ca apoi, în ultima pafte a considerațiilor noastre (privind teoria generală a relativității), să vedem că aceste adevăruri nu sunt absolute și să le precizăm limitele.

§2. Sistemul de coordonate

Pe baza interpretării fizice a distantei pe care am indicat-o, suntem în măsură să stabilim prin măsurători distanța dintre două puncte ale unui corp rigid. Pentru aceasta avem nevoie de o linie (un etalon de măsură S) determinată o dată pentru totdeauna, care va fi folosită ca unitate de măsură. Dacă se dau două puncte A și B ale unui corp rigid, atunci linia dreaptă care le unește se poate construi după legile geometriei; apoi, pe această linie de legătură putem suprapune linia S pornind din A de atâtea ori până când se ajunge în B. Numărul repetărilor acestei suprapuneri va reprezenta măsura dreptei AB. Pe acest principiu se bazează orice măsurare a lungimii.[2]

Orice descriere spațială a poziției unui fenomen sau obiect se bazează pe faptul că se indică un punct al unui corp rigid (sistem de referință) cu care acel fenomen coincide. Acest lucru este valabil nu doar pentru descrierea științifică, ci și pentru viața cotidiană. Astfel, dacă vom analiza următoarea indicație privind locul „la Berlin, în piața Potsdam”, vom obține următoarea semnificație: corpul rigid este solul la care se referă indicația privind locul; pe el e marcat un punct purtând un nume, „Piața Potsdam din Berlin”, cu care coincide spațial fenomenul.[3]

Acest mod elementar de a indica un loc nu poate servi decât pentru punctele de pe suprafața corpurilor rigide, fiind legat de existența unor puncte ale acestei suprafețe ce pot fi distinse reciproc. Să vedem cum se eliberează spiritul uman de aceste două limitări, fără ca esența indicării locului să se modifice. De exemplu, să presupunem că deasupra Pieței Potsdam plutește un nor; locul acestuia poate fi stabilit, în raport cu suprafața Pământului, ridicând în piață o prăjină care să ajungă până la nor. Lungimea prăjinii, măsurată cu etalonul, împreună cu indicarea locului piciorului acestei prăjini va reprezenta o indicație completă a poziției.
Vedem din acest exemplu cum a fost perfecționată noțiunea de poziție:

a) se prelungește corpul rigid, la care se raportează indicația de poziție a obiectului, în așa fel încât obiectul ce urmează a fi localizat îl întâlnește într-un punct determinat;

b) se folosește, pentru stabilirea locului, numărul în locul numelor punctelor de reper (aici, lungimea prăjinii măsurate cu etalonul);

c) se vorbește de înălțimea norului chiar și atunci când nu există o prăjină care să-l poată atinge. În cazul nostru, se va evalua lungimea acestei prăjini care ar trebui confecționată pentru a atinge norul, prin observații optice asupra norului din diferite poziții de pe sol, ținând seama de proprietățile propagării luminii.

Din această examinare rezultă că, în descrierea poziției locului, ar fi avantajos dacă am reuși ca, prin folosirea numerelor indici, să devenim independenți de existența punctelor de reper dotate cu nume pe un corp rigid, ce servește ca sistem de referință. Acest obiectiv îl realizează fizica în măsurarea prin folosirea sistemului de coordonate cartezian.

Acesta constă din trei planuri rigide perpendiculare două câte două și legate de un corp rigid.
Locul unui eveniment oarecare în raport cu sistemul de coordonate va fi (în mod esențial) descris prin indicarea lungimii a trei perpendiculare sau coordonate (x, y, z) (vezi fig. 2, p. 36) care pot fi duse în acest punct pe cele trei planuri considerate. Lungimile acestor trei perpendiculare pot fi determinate prin manevrarea liniei etalon rigide conform legilor și metodelor geometriei euclidiene.

În aplicații, nu se realizează în general cele trei planuri rigide ce constituie sistemul de coordonate; coordonatele nu se măsoară nici ele cu ajutorul etalonului rigid, ci se determină indirect. Sensul fizic al indicației de poziție nu va trebui întotdeauna căutat în direcția explicațiilor de mai sus, dacă vrem ca rezultatele fizicii și astronomiei să nu devină obscure.[4]

Din cele de mai sus rezultă deci următoarele:
orice descriere spațială a fenomenelor se folosește de un corp rigid la care se vor raporta spațial fenomenele; această raportare presupune valabilitatea legilor geometriei euclidiene pentru „liniile drepte”, „linia dreaptă” fiind reprezentată fizic prin două puncte marcate pe un corp rigid.

§3. Spațiul și timpul în mecanica clasică

Dacă formulăm obiectivul mecanicii – fără explicații preliminare și considerații complicate – astfel: „mecanica trebuie să descrie schimbările de poziție ale corpurilor în spațiu în funcție de timp”, atunci vom comite o serie de păcate de moarte împotriva spiritului sfânt al clarității; aceste păcate vor fi imediat scoase la iveală.

Este neclar ce trebuie să se înțeleagă aici prin „loc” și „spațiu”. Să luăm un exemplu. De la fereastra unui vagon de tren în mișcare uniformă las să cadă o piatră pe terasament fără a-i da un impuls. Făcând abstracție de rezistenta aerului, voi vedea piatra căzând în linie dreaptă. Un pieton care, de pe o potecă laterală, vede fapta mea urâtă, observă că piatra cade pe pământ descriind o parabolă. Ne întrebăm: „locurile” pe care piatra le străbate se află „în realitate” pe o dreaptă sau pe o parabolă? Ce înseamnă aici mișcarea „în spațiu”? După remarcile din §2, răspunsul va fi de la sine înțeles. Mai întâi să lăsăm cu totul la o parte expresia vagă „spațiu”, prin care, să recunoaștem sincer, nu putem să gândim nimic precis; o vom înlocui prin „mișcare în raport cu un corp de referință practic rigid”. Locurile în raport cu un corp de referință (vagonul sau solul) au fost deja definite amănunțit în paragrafele anterioare. Dacă pentru „corp de referință” vom introduce conceptul util pentru descrierea matematică „sistem de coordonate”, vom putea spune: piatra descrie în raport cu sistemul de referință legat de vagon o dreaptă, iar în raport cu cel legat de sol o parabolă. Din acest exemplu se vede clar că nu putem vorbi de traiectorie[5] în sine, ci numai de traiectoria relativă la un sistem de referință.

O descriere completă a mișcării nu este dată până nu se indică modul în care corpul își modifică locul în funcție de timp. Cu alte cuvinte, pentru fiecare punct al traiectoriei trebuie să se indice momentul temporal în care corpul se află acolo.

Aceste indicații trebuie completate cu o asemenea definiție a timpului, încât aceste valori de timp să poată fi considerate, datorită acestei definiții, ca mărimi principial observabile (rezultate ale măsurătorilor). Ne putem conforma acestei-exigențe pentru exemplul nostru, în cadrul mecanicii clasice, în felul următor. Ne imaginăm două ceasornice absolut identice; pe unul dintre ele îl va observa omul de la fereastra trenului, iar pe altul omul de pe drumul lateral. Fiecare dintre cei doi, atunci când ceasornicul său indică o anumită oră, va determina poziția pietrei în raport cu sistemul său de referință. Vom renunța aici la luarea în considerare a inexactității care apare datorită caracterului finit al vitezei de propagare a luminii. Despre aceasta și despre a doua dificultate – care va trebui biruită aici – vom vorbi mai detaliat mai târziu.

§4. Sistemul de coordonate galilean

Principiul mecanicii galileo-newtoniene, cunoscut sub denumirea de legea inerției, spune: un corp suficient de îndepărtat de alte corpuri își menține starea de repaus sau de mișcare uniform-rectilinie. Această propoziție nu spune ceva doar despre mișcarea corpurilor, ci și despre sistemele de coordonate a căror utilizare este admisă în descrierea mecanică. Corpurile care se supun, desigur, cu un grad înalt de aproximare, legii inerției sunt stelele fixe observabile. Dar, în raport cu un sistem de coordonate legat rigid de Pământ, o stea fixă descrie în cursul unei zile (astronomice) un cerc de rază extrem de mare, în contradicție cu principiul inerției. Pentru a putea menține acest principiu va trebui să raportăm mișcarea numai la sisteme de coordonate față de care stelele fixe nu se mișcă în cerc. Sistemul de coordonate, a cărui stare de mișcare este de așa natură încât în raport cu el este valabilă legea inerției, îl vom numi „sistem de coordonate galilean”. Numai pentru un sistem de coordonate galilean sunt valabile legile mecanicii galileo-newtoniene.

§5. Principiul relativității (în sens restrâns)

Revenim, pentru o intuire mai bună a lucrurilor, la exemplul cu vagonul de tren care se mișcă cu o viteză uniformă. Mișcarea sa o vom numi translație uniformă („uniformă” deoarece viteza și direcția sa sunt constante; „translație” deoarece vagonul își modifică locul în raport cu terasamentul căii ferate, fără a face vreo mișcare de rotație). Să presupunem că un corb zboară în linie dreaptă și în mod uniform în raport cu un observator situat pe sol. Din punctul de vedere al unui observator din trenul aflat în mișcare, zborul lui va reprezenta o mișcare cu o altă viteză și altă direcție: dar este tot o mișcare rectilinie și uniformă. Exprimat în mod abstract: dacă o masă m se mișcă uniform și rectiliniu în raport cu un sistem de coordonate K, atunci ea se va mișca rectiliniu și uniform și în raport cu al doilea sistem de coordonate K’, atunci când acesta din urmă are o mișcare de translație uniformă față de K. De aici decurge, având în vedere cele spuse și în paragrafele anterioare, că:

Dacă K este un sistem de coordonate galilean, atunci oricare alt sistem de coordonate K’ va fi unul galilean dacă el se află fată de K într-o stare de mișcare de translație uniformă, în raport cu K’ legile mecanicii galileo-newtoniene sunt la fel de valabile ca și în raport cu K.

Vom face un pas mai departe în generalizare:dacă K’ reprezintă un sistem de coordonate în mișcare uniformă și fără rotații în raport cu K, atunci fenomenele naturale se vor petrece în raport cu K’ după aceleași legi generale ca și în raport cu K. Acest enunț îl vom numi „Principiul relativității”
(în sens restrâns).

Atâta vreme cât domina convingerea că orice fenomen al naturii poate fi reprezentat cu ajutorul mecanicii clasice, nu se putea pune la îndoială validitatea acestui principiu al relativității. Cu noile dezvoltări ale electrodinamicii și opticii a devenit din ce în ce mai evident că mecanica clasică nu este suficientă ca bază a tuturor descrierilor fizice ale fenomenelor naturale. Atunci s-a pus sub semnul întrebării validitatea principiului relativității, nefiind exclusă posibilitatea ca răspunsul să fie unul negativ.

Oricum, există două fapte generale care pledează din capul locului în favoarea validității principiului relativității. Dacă mecanica clasică nu oferă o bază suficientă pentru explicarea teoretică a tuturor fenomenelor fizice, trebuie totuși să-i recunoaștem un conținut de adevăr foarte important, deoarece ea descrie cu o precizie uimitoare mișcările reale ale corpurilor cerești. De aceea, și în domeniul mecanicii principiul relativității trebuie să fie valabil cu o mare exactitate. Faptul ca un principiu cu un grad atât de înalt de generalitate, care este valid cu o asemenea exactitate într-un domeniu de fenomene, să fi eșuat în alt domeniu de fenomene este a priori puțin probabil.

Al doilea argument, asupra căruia vom reveni mai târziu, este următorul. Dacă principiul relativității (în sens restrâns) n-ar fi valid, atunci sistemele de coordonate galileene K, K’, K" etc., care se mișcă unul față de altul uniform, n-ar mai fi echivalente pentru descrierea fenomenelor naturale. Ar trebui atunci să admitem că legile naturii se prezintă sub o formă deosebit de simplă și naturală dacă vom alege ca sistem de referință unul dintre toate acestea (K0) aflat într-o stare determinată de mișcare. Pe acesta îl vom considera, pe bună dreptate (din cauza avantajelor sale pentru descrierea fenomenelor naturale) ca „absolut imobil”, celelalte sisteme galileene K fiind însă „în mișcare”. Dacă, de exemplu, terasamentul căii ferate ar reprezenta sistemul K0, atunci vagonul nostru de tren ar fi un sistem K în raport cu care ar trebui să fie valabile legi mai puțin simple decât cele definite în raport cu K0. Această simplitate redusă ar trebui pusă pe seama faptului că vagonul K se află în mișcare în raport cu K0 (în mod „real”), în aceste legi generale ale naturii formulate în raport cu K, mărimea și direcția vitezei de mișcare a vagonului trebuie să joace un rol. Ne vom aștepta, de exemplu, ca înălțimea tonului unui tub de orgă să fie diferită după cum axa acestui tub va fi paralelă sau perpendiculară pe direcția de mișcare a trenului. Dar Pământul, aflat în mișcare în raport cu Soarele, este comparabil cu un vagon care se deplasează cu o viteză de 30 km/s. Ar trebui deci să ne așteptăm, dacă admitem nevaliditatea principiului relativității, ca direcția din fiecare moment a mișcării Pământului să intervină în legile naturii, cu alte cuvinte ca sistemele fizice să depindă în comportamentul lor de orientarea spațială în raport cu Pământul. Dar, dat fiind că direcția vitezei mișcării de rotație a Pământului se schimbă constant în cursul anului, acesta nu poate fi considerat imobil în raport cu sistemul ipotetic K0 niciun moment pe parcursul unui an întreg. Dar, cu toate strădaniile, nu s-a putut observa niciodată o asemenea anizotropie fizică a spațiului, adică o neechivalență fizică a diferitelor direcții. Acesta este un argument foarte puternic în favoarea principiului relativității.

§6. Teorema compunerii vitezelor în mecanica clasică

Să presupunem iarăși că același tren se deplasează cu viteza constantă v. Într-un vagon, un om se deplasează în sensul lungimii vagonului și anume în aceeași direcție a mișcării trenului, cu viteza w. Cât de repede, adică cu ce viteză W înaintează omul în raport cu terasamentul? Singurul răspuns posibil pare a decurge din observația următoare:

Dacă omul ar rămâne imobil timp de o secundă, în acest timp el s-ar deplasa în raport cu terasamentul cu o lungime v egală cu viteza trenului. Dar, în realitate, din cauza mișcării lui proprii, el parcurge în plus în această secundă în raport cu vagonul și, ca urmare, și în raport cu terasamentul, o lungime w egală cu viteza deplasării sale. În total, el parcurge deci în această secundă, în raport cu terasamentul, o lungime W = v + w.

Vom vedea mai târziu că acest raționament, care în mecanica clasică se numește „teorema de compunere a vitezelor”, nu este riguros și, ca urmare, această lege nu este verificată în realitate. Pentru moment vom accepta însă corectitudinea ei.