Certitudinile hazardului

CUPRINS:

Introducere. 5

1. Caracterul aleator al viitorulu i. 7

2. „O știință a ignorantului”. 12

3. Limitele certitudinii. 17

4. Sofismul „pretutindeni și totdeauna”. 21

5. Urna ternară și adunarea probabilităților. 25

6. Două extrageri dintr-o urnă binară: înmulțirea probabilităților. 31

7. O singură dată? Cel puțin o dată? 36

8. Două urne binare: probabilitatea antecedentelor. 40

9. Adevăratul preț al șansei: speranță matematică, valoare medie 48

10. Probe repetate; probabilități de apariție. 53

11. Credința în compensație. 61

12. Cele patru sferturi ale unei serii de probe. 72

13. Probabilitățile abaterilor individuale. 82

14. Legea numerelor mari. 89

15. Hazard statistic și hazard individual. 94

INTRODUCERE l

La prima vedere, asocierea hazardului cu certitudinea pare o sfidare la adresa bunului simț: aleator și indubitabil se opun gramatical, la fel ca jos și sus, frig și cald, negru și alb. Am putea continua la nesfârșit această enumerare, împrumutând limbajul uzual, a cărui principală caracteristică este de a fi, tntr-o manieră naivă, calitativ de vreme ce recurge doar la da sau nu.

Dimpotrivă, limbajul științific reușește să realizeze o gradați” fină pentru fiecare calitate, grație unor noțiuni cărora prea adesea avem obiceiul de a le subaprecia precizia și puterea de cuprindere.

Strict vorbind, în jurul nostru totul e întâmplător; totul se eșalonează între certitudine și imposibilitate.

Certitudine. Ați spus unui prieten: „Mâine, la ora asta, voi fi acasă”.

Măsura certitudinii. Aveți patruzeci de ani. Din tabelele de mortalitate aflați că aveți o șansă din 92 de a muri în următoarele 365 de zile, deci o șansă din 33580 de a muri în următoarele douăzeci și patru de ore. Dacă nu apar alte piedici, proiectul dumneavoastră are 33579 șanse din 33580 de a se realiza.

Imposibilitate. Auziți pe cineva spunând: „Am luat ultimul bilet la loterie, fiindcă sunt sigur că voi câștiga lozul cel mare”.

Măsura imposibilității: Există un singur bilet care asigură ctștigul maxim și 299999 care nu ne aduc un câștig de cincisprezece milioane1. Fraza pronunțată are trei șanse dinlr-un milion de a deveni realitate. Gradul ei de imposibilitate este „cu mult mai mare” decât gradul de certitudine al afirmației anterioare: în preziua tragerii, fiecare posesor al unui bilet loto are de zece ori mai multe șanse de a muri în următoarele douăzeci și patru

1 Cel mai mare clștig posibil la loterie în Franța anilor premergători celui de-al doilea război mondial (N. T.).

De ore decât de a câștiga marele loz. Clte oare din acțiunile noastre sunt sugerate de reguli aiit de precise de conduită1?

Hazardul poate să ocupe orice treaptă între cvasicertitudine și cvasiimposibilitate. Tocmai aceste grade de incertitudine le evaluează calculul probabilităților, într-un mod riguros, cu nimic inferior celui în care procedează celelalte ramuri ale stiin-(ei.

Și dacă s-ar fi păstrat moda de odinioară de a da unei cărți două titluri sinonime, am fi ales desigur: „Certitudinile hazardului” sau reperarea exactă a incertitudinii.

M. B.

L

Oamenii de litere și filosofii au dezbătut îndelung avantajele sau inconvenientele pe care ni le-ar aduce o cunoaștere perfectă a viitorului. Problemă de minimă importanță, ca să nu spunem de prisos, care ține de metafizică sau de fabulație. In ceea ce privește gândirea veritabilă și, prin urmare, comportamentul adecvat, gânditorii moderni – începând cu Renașterea – au întors spatele idealului grecilor antici. Pentru antici esențială era construirea unei imagini a lumii în conformitate cu gustul sau (cum spuneau ei) cu rațiunea lor. Pentru noi, universul este impus omului: nu suntem liberi să ue alegem soarta; dacă vrem să trăim, trebuie să ne acomodăm cu ceea ce există. Lucrurile sunt astăzi atât de diferite de ceea ce erau altădată încât, sincer vorbind, nu putem reproșa nimic anticilor [39]1.

Oricare ar fi subiectul care ne solicită spiritul, cunoașterea realului este știință, al cărei scop este enunțarea de legi de previziune. Previziuni inegal încununate de succes și care se referă la numere, forme, materie și radiație, viață, psihic și intelect, societatea umană.

De mai puțin de un secol știm, pe baza experienței, că legile de previziune se împart în două tipuri ireductibile:

1. Legile de lip clasic2, cum ar fi: iluminarea unui ecran de carton variază invers proporțional cu pătratul distanței care îl desparte de o lampă. Distanța este numită variabilă independentă, iar iluminarea – variabilă dependentă: dacă

1 Numerele în caractere grase se referă la indexul bibliografic (p. 98). * Aceste legi sunt astăzi cunoscute sub numele de legi deterministe (N. T.).

Alegem pentru distanță o valoare oarecare, după bunul nostru plac, gradul de iluminare este perfect determinat.

2. Legile zise de probabilitate1, care fac să intervină în plus variabilele aleatoare. Iată un exemplu simplu [11]: nici un savant nu poate să spună dacă un copil care se va naște peste câteva luni va fi băiat sau fată, dar toți cei ce se ocupă de demografie cunosc proporția exactă dintre numărul de nașteri masculine și cele feminine; ei au din punct de vedere științific certitudinea că anul viitor se vor naște puțin mai mulți băieți decât fete.

Aceste idei, de achiziție recentă, alcătuiesc un ansamblu vast, în care bunul simț cotidian ne induce în eroare aproape totdeauna. Motivele acestei lipse de înțelegere sunt multiple [19]. În viața de toate zilele, dorințele noastre înclină balanța, făcându-ne să considerăm ca sigură realizarea unui eveniment fericit. Pesimiștii se înșală și ei, dar în sens invers. Și mai ales, marele public s-a obișnuit să considere știința ca deter-ministă, compusă din legi de tip clasic: el vrea certitudini și cu greu acceptă ideea că un eveniment nu poate fi prevăzut în mod perfect riguros; el nu-și dă seama că „a prefera certitudinea” (când problema bine formuiată nu comportă certitudine) nu înseamnă decât a prefera că 2 și cu 2 fac 5 [11]. Multor oameni le este cvasiimposibil să-și asimileze noțiunea de probabilitate: credulitatea și neîncrederea sunt singurele lor atitudini curente. Opinia publică este în general formată din opinii extreme, deopotrivă greșit fundamentate [2].

Este deci cât se poate de util să scoatem în evidență importanța și rolul aleatorului în gândire și viață.

Evenimentele aleatoare figurează, desigur, în limbajul de fiecare zi, sub formă de adjective, substantive și adverbe. Acest vocabular e relativ bogat, dar mai ales vag, lacunar și echivoc: enumerarea completă a termenilor uzuali nu prezintă câtuși de puțin interes.

1 Procesele economice, biologice, intraatomice etc., care sunt guvernate de legități statistice (de legi de probabilitate sau probabilistice) slnt desemnate astăzi prin anumiți termeni sinonimi, cum ar fi: procese aleatoare, procese stochastice, procese probabilistice (N. T.).

Pentru a fixa ideile, vom alege aici treptele următoarei gradații:

1 imposibil, neverosimil, îndoielnic, n! O plauzibil, cert;

(punctele înlocuiesc două adjective, care ne lipsesc în limbă și care ar corespunde, primul lui „foarte plauzibil”, al doilea lui „aproape sigur”). Rupând odată pentru totdeauna cu obiceiul de a face distincție între lucruri prin „da” și „nu”, vom spune în mod convențional că aceste șapte cuvinte (sau locuțiuni) sunt varietăți ale genului aleator: aleatorul se întinde deci peste nenumărate tranziții, de la imposibilitate (inclusiv imposibilitatea) până la certitudine (inclusiv certitudinea). Nu ne jenează deloc faptul că, neglijând conformismul verbal, considerăm în principiu imposibilul și certul drept cazuri particulare ale aleatorului. Pe de o parte, ne pregătim efectiv să evaluăm incertitudinea. Iar pe de altă parte, fără să anticipăm asupra celor ce urmează, ni se întâmplă în fiecare moment să fim puși în fața întrebării: în ce măsură cutare eveniment este aleator?

A) Apariția evenimentului se situează la mijlocul drumului între imposibil și sigur. Este aproape sensul adjectivului „plauzibil”; dar alte turnuri de frază ar conveni mai bine: „poate că da, poate că nu”; „se poate paria cu șanse egale”; „avem o șansă din două”.

B) Apariția evenimentului se situează mai aproape de imposibilitate decât de certitudine: eveniment îndoielnic, eveniment neverosimil.

C) Sau mai aproape de certitudine decât de imposibilitate.

D) In fine, evenimentul poate fi perfect cert sau absolut imposibil. Acesta este un răspuns corect și satisfăcător la problema pusă. În același timp, începem să înțelegem că legile de tip clasic (determinismul rigid) constituie un caz particular al legilor de probabilitate sau, cum se spune, al determinismului statistic.

Până acum am evitat cu grijă folosirea adjectivelor „probabil” și „posibil”. „Probabil” nu mai are nimic comun cu sensul său etimologic1. Cit despre „posibil”, el e unul din rarele cuvinte cărora este convenabil să le păstrăm accepțiunea comună: ceea ce se poate întâmpla. Două evenimente sunt egal posibile sau, în limbajul matematic, echiprobabile, dacă ele sunt egal depărtate de certitudine, dacă suntem la fel de nede-ciși asupra apariției lor [37]; un moment de gândirc ne va convinge că ne aflăm într-un asemenea caz, dacă vrem să obținem CAPUL la aruncarea cu moneda sau un NUMĂR PAR (2, 4 sau 6) la aruncarea cu zarul; de asemenea, folosind un singur zar, apariția lui DOI și a lui CINCI sunt echiprobabile. Etc.

În treacăt fie zis, înțelegerea greșită a noțiunii de echipro-b-ibilitate este o sursă nesecată de erori și chiar de prostii, în majoritatea dilemelor („din două, una”), cele două eventualități nu sunt echiprobabile. Oricine este îndreptății să-și spună:

Mâine voi fi mort sau voi fi în viață. Dar de aici nu trebuie conchis: Am „deci” o șansă din două să mor în timpul nopfii. Căci cele două eventualități contrare nu sunt echiprobabile. Nu vă grăbiți să surâdeți: o asemenea greșeală grosolană a fost comisă [5] de marele savant D'Alembert2, care a persistat în modul său de a vedea lucrurile, fără a se lăsa convins de un raționament ireproșabil al matematicianului Euler3.

1 în limba franceză, adjectivul „probabil” derivă din verbul latin „probare”, care înseamnă „a dovedi”, „a demonstra”; ca atare, sensul etimologic este în franceză de „demonstrabil”, „care poate fi dovedit”. Astăzi el este folosit în limba franceză exact cu același sens ca în limba romană (N. T.).

2 Jean Le Rond D'Alembert (1717 – 1783), filosof iluminist, matematician și scriitor francez. Membru al Academiei de Științe, secretar a! Academiei Franceze, a participat la redactarea celebrei Enciclopedii franceze (articolele de matematică și Discursul preliminar). Ca matematician, a adus o contribuție importantă la fundamentarea mecanicii, for-mulând regulile generale pe care se bazează stabilirea ecuațiilor diferențiale pentru mișcarea sistemelor discrete de puncte materiale; în conștiința publicului larg, el rămâne bine cunoscut pvintr-o teoremă esențială pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice, care îi poartă numele (N. T.).

3 Leonhard Euler (1707 – 1783), matematician și fizician elvețian, și-a desfășurat cea mai mare parte din activitate la Petersburg. A adus contribuții importante la dezvoltarea analizei matematice, a teoriei ecuațiilor diferențiale și a teoriei numerelor; a fost creatorul calculului variațiilor (N. T.).

Locul probabilului, respectiv al posibilului, printre celelalte varietăți de aleator este foarte prost fixat de limbajul curent. Recent, bazându-se pe argumente de ordin etimologic, un distins lingvist a declarat, într-o cronică, că se poate spune: „Este probabil, e chiar posibil.” Personal aș fi preferat: „Este posibil, este chiar probabil.” Opozantul meu a fost de acord cu această formulare; dar ezitarea inițială [42] este simptomatică.